Problemas resueltos de Cálculo 1 

Problema:

Hallar al área máxima del rectángulo inscrito en el triángulo equilátero de lado 8.

Problema:

La suma de tres números positivos es 30 ; el primero más el doble del segundo, más el triple del tercero sumas 60 ;determinar estos números de modo tal que producto sea máximo.

P = xyz        / Maximizando el producto de tres números positivos

x + y + z = 30  

   

x +2y +3z = 60  / Se eliminan variables en términos de x

y = 30 – 2x      /  Reemplazando en la ecuación del producto a maximizar

z = x

P = x (30 – 2 x) (x)      /  Simplificando

P = 30x² – 2x³      / Derivando e igualando a cero

P′ = 60x – 6x² = 0    / despejando x (solo tomamos el valor de

 x = 10)

x =10

x = 0

y = 30 – 2x =10

z = x =10

Entonces:

P _máx = xyz = 10 * 10 * 10 = 1000

Problema:

Hallar las dimensiones del circulo de máxima área, que puede inscribirse en un cuadrado de lado:

                                                               L = 5cm

Hallar las dimensiones del circulo de máxima área, que puede inscribirse en un cuadrado de lado: L = 5cm

A = π r²       / Se maximiza el área del circulo

A = π (L/2)²     / Expresión de área           

                               

A = (π/4) L²    / Reemplazando r = L/2  

                   

A′ = 0    / Simplificando y derivando

Por lo tanto existe un único círculo que puede inscribirse en un cuadrado, de dimensiones constantes. No existen alternativas que nos permitan elegir otras dimensiones.

Bibliografía:

Victor Chungara Castro

     Problemas de cálculo 1: Aplicaciones

Muy bien en esta entrega les traigo problemas clásicos y nuevos que nuestros profesores y docentes nos andan poniendo en clases y nos hacen doler la cabeza y creemos que son muy difíciles, pero nada más alejado de la realidad, porque son muy simples acá les voy a explicar de manera sencilla y muy fácil todo tipo de ejercicios y problemas y todo lo que tenga que ver con matemáticas calculo, etc. Muy bien entonces empecemos.

Calculo 1

-Aplicaciones:

Problema

Una barra de acero tiene longitud de 32 m, determinar las dimensiones en que debe doblarse de manera que forme un rectángulo de área máxima.

Sea:

A = el área

b = el lado más largo

h = el lado más corto

Formula:

A=bh

Cálculos auxiliares:

Ahora porque 2b y 2h, eso se debe a que en un rectángulo se tienen dos lados largos y dos cortos los que lo forman  

2b+2h =32  / dividiendo entre 2 para simplificar

b +h =16  / despejando h para luego reemplazar en la formula

Reemplazando en formula:

A =  b (16-b)

A = 16b-b^{2                 /}  derivando tenemos

A ′ = 16-2b=0          despejando b y reemplazando

b = 8

h = 8

Entonces tenemos en la fórmula:

A = (8) (8)= 64m²       así tenemos nuestra área máxima.

Problema

Hallar 2 números cuyo producto sea máximo sabiendo que su suma es 24.

Ahora tenemos algunos pares de números

        3               x               21   =  63

       1                x              23   =  23

      10              x               14   =  140

        5              x               19   =  95

Sean x+y los números

Formula principal:    P (xy)

Formula auxiliar:     P = X+Y = 24

                X = 24- Y     / despejando

Reemplazando:

     P = (24- Y) Y

     P = 24Y- Y²               / derivando tenemos

     P ′ = 24 – 2Y = 0

     X= 12

     Y= 12

Entonces:       P = (12)(12) =144

Problema

Hallar los números de suma 16 de modo que la suma de sus cuadrados sea mínima.

Formula principal:   P (xy)

Formula auxiliar:    p = x+y =16

            x = 16 - y

Reemplazando:  

            P = (16-y) y        / multiplicando

            P =16 y – y²       / derivando

            P ′ = 16 -2y =0

            X = 8

            Y = 8      

Entonces:   P = (x²) (y²) = 128

Nos vemos muy pronto.....